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[配套K12]2018版高中数学 第1章 解三角形 1.2 第2课时 角度问题学案 新人教B版必修5

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第 2 课时 角度问题

1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解角度问题.(重点) 2.会将实际问题转化为解三角形问题.(难点) 3.能根据题意画出几何图形.(易错点)

[基础·初探] 教材整理 方位角与方向角 阅读教材 P14 问题 4,完成下列问题. 1.方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水*角.如点 B 的方位角为 α (如图 1?2?17 所 示).

图 1?2?17 方位角的取值范围:0°~360°. 2.方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于 90°的水*角,如南偏西 60°,指以正南方向 为始边,顺时针方向向西旋转 60°.
1.下列说法中正确的个数为( ) (1)若 P 在 Q 的北偏东 44°,则 Q 在 P 的东偏北 44°方向; (2)如图 1?2?18 所示,该角可以说成北偏东 110°;

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图 1?2?18

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(3)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系,其范

围均是???0,π2 ???; (4)若点 A 在点 C 的北偏东 30°方向,点 B 在点 C 的南偏东 60°方向,且 AC=BC,则

点 A 在点 B 北偏西 15°方向.

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】 (1)错误.因若 P 在 Q 的北偏东 44°,则 Q 应在 P 的南偏西 44°.

(2)错误.因本图所标角应为方位角,可以说成点 A 的方位角为 110°.

(3)错误.因为方向角的范围为 0°~90°,而方位角的范围为 0°~360°.

(4)正确.

【答案】 A

2.某次测量中,A 在 B 的南偏东 34°27′,B 在 A 的( )

A.北偏西 34°27′

B.北偏东 55°33′

C.北偏西 55°33′

D.南偏西 55°33′

【解析】 如图所示.

【答案】 A

3.已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏 东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )

A.a km

B. 3a km

C. 2a km

D.2a km

【解析】 如图,可知∠ACB=120°,AC=BC=a.在△ABC 中,过点 C

作 CD⊥AB,则 AB=2AD=2asin 60°= 3a.

【答案】 B
4.某人从 A 处出发,沿北偏东 60°行走 3 3 km 到 B 处,再沿正东方向行走 2 km 到 C 处,则 A,C 两地的距离为________km.
【解析】 如图所示,由题意可知 AB=3 3,BC=2,∠ABC=150°. 由余弦定理得 AC2=27+4-2×3 3×2×cos 150°=49,AC= 7.所以 A,C 两地的距离为 7 km.

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教育配套资料 K12 【答案】 7

[小组合作型]

角度问题

(1)如图 1?2?19,两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站南偏西 40°,灯塔 B 在观察站南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( )

A.北偏东 10° B.北偏西 10° C.南偏东 80° D.南偏西 80°

图 1?2?19

(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底长为 6 m,下底长为 10 m,高为 2 3m, 那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是( )

A. 33,60°

B. 3,60°

C. 3,30°

D. 33,30°

【精彩点拨】 (1)两座灯塔 A、B 与观察站 C 的距离相等,说明∠A 与∠B 有何大小关

系?灯塔 B 在观察站南偏东 60°,说明∠CBD 是多少度?

(2)本小题关键是理解坡比与坡角的意义.

【自主解答】 (1)由条件及图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=

60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏

西 80°.

(2)如图所示,横断面是等腰梯形 ABCD,AB=10 m,CD=6 m,高 DE=2 3 m,则 AE=AB-2 CD

=2 m,

∴tan ∠DAE=DAEE=2 2 3= 3,

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教育配套资料 K12 ∴∠DAE=60°. 【答案】 (1)D (2)B
测量角度问题画示意图的基本步骤:
[再练一题] 1.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪 水中漂行,此时,风向是北偏东 30°,风速是 20 km/h;水的流向是正东,流速是 20 km/h, 若 不 考 虑 其 他 因 素 , 救 生 艇 在 洪 水 中 漂 行 的 速 度 的 方 向 为 北 偏 东 ________ , 大 小 为 ________km/h.
【导学号:18082009】 【解析】 ∠AOB=60°,由余弦定理知 OC2=202+202-800cos 120°=1 200, 故 OC=20 3,∠COY=30°+30°=60°.
【答案】 60° 20 3 求航向的角度
某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测 出该渔轮在方位角为 45°,距离为 10 n mile 的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105°的方 向,以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救, 求舰艇的航向和靠*渔轮所需的时间.
【精彩点拨】 本题中所涉及的路程在不断变化,但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等, 先设出所用时间 t,找出等量关系,然后解三角形.
【自主解答】 如图所示,根据题意可知 AC=10,∠ACB=120°,设舰艇靠*渔轮所 需的时间为 t h,并在 B 处与渔轮相遇,则 AB=21t,BC=9t,在△ABC 中,根据余弦定理 教育配套资料 K12

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得 AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 120°,所以 212t2=102+81t2+2×10×9t×12,即 360t2 -90t-100=0,解得 t=23或 t=-152(舍去).所以舰艇靠*渔轮所需的时间为23 h.

此时 AB=14,BC=6.

在△ABC

BC 中,根据正弦定理得sin∠CAB=sin

AB 120°,

3

所以

6× 2 sin∠CAB= 14

=3143,

即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去). 即舰艇航行的方位角为 45°+21.8°=66.8°. 所以舰艇以 66.8°的方位角航行,需23 h 才能靠*渔轮.

1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中 标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问 题的解.
2.在解三角形问题中,求某些角的度数时,最好用余弦定理求角.因为余弦函数在(0, π )上是单调递减的,而正弦函数在(0,π )上不是一一对应,一个正弦值可以对应两个角.
但角在???0,π2 ???上时,用正、余弦定理皆可.
[再练一题] 2.某海上养殖基地 A,接到气象部门预报,位于基地南偏东 60°相距 20( 3+1) n mile 的海面上有一台风中心,影响半径为 20 n mile,正以每小时 10 2 n mile 的速度沿某一方 向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且 3+1 h 后开始影响基地持续 2 h. 求台风移动的方向. 【解】 如图所示,设预报时台风中心为 B,开始影响基地时台风中 心为 C,基地刚好不受影响时台风中心为 D,则 B、C、D 在一直线上,且 AD=20,AC=20. 由题意 AB=20( 3+1),DC=20 2,
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BC=( 3+1)·10 2. 在△ADC 中,∵DC2=AD2+AC2, ∴∠DAC=90°,∠ADC=45°. 在△ABC 中,由余弦定理得 cos∠BAC=AC22+ACA·B2-ABBC2= 23. ∴∠BAC=30°,又∵B 位于 A 南偏东 60°,60°+30°+90°=180°,∴D 位于 A 的 正北方向,又∵∠ADC=45°,
→ ∴台风移动的方向为向量CD的方向.即北偏西 45°方向. 答:台风向北偏西 45°方向移动.
[探究共研型] 求解速度问题
探究 1 某物流投递员沿一条大路前进,从 A 到 B,方位角是 50°,距离是 4 km,从 B 到 C,方位角是 80°,距离是 8 km,从 C 到 D,方位角是 150°,距离是 6 km,试画出示意 图.
【提示】 如图所示:
探究 2 在探究 1 中,若投递员想在半小时之内,沿小路直接从 A 点到 C,则此人的速 度至少是多少?
【提示】 如探究 1 图,在△ABC 中,∠ABC=50°+(180°-80°)=150°,由余弦 定理得 AC= AB2+BC2-2AB·BC·cos 150°=4 7,则此人的最小速度为 v=4 1 7=8 7
2 (km/h).
探究 3 在探究 1 中若投递员以 24 km/h 的速度匀速沿大路从 A 到 D 前进,10 分钟后某 人以 16 7 km/h 的速度沿小路直接由 A 到 C 追投递员,问在 C 点此人能否与投递员相遇?
【提示】 投递员到达 C 点的时间为 t1=42+48=12(小时)=30(分钟),追投递员的人所 用时间由探究 2 可知
t2=146 77=14(小时)=15 分钟;由于 30>15+10,所以此人在 C 点能与投递员相遇. 如图 1?2?20 所示,一辆汽车从 O 点出发沿一条直线公路以 50 公里/小时的速
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教育配套资料 K12 度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向),汽车开动的同时,在距汽车出发点 O 点的距 离为 5 公里、距离公路线的垂直距离为 3 公里的 M 点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件 东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望,此时他 驾驶摩托车行驶了多少公里?
图 1?2?20 【精彩点拨】 根据已知图形构造三角形.利用余弦定理建立速度与时间的函数求解. 【自主解答】 作 MI 垂直公路所在直线于点 I,则 MI=3,∵OM=5,∴OI=4,∴cos∠MOI 4 =5. 设骑摩托车的人的速度为 v 公里/小时,追上汽车的时间为 t 小时, 由余弦定理得(vt)2=52+(50t)2-2×5×50t×45,
即 v2=2t52 -40t0+2 500=25???1t-8???2+900≥900, ∴当 t=18时,v 取得最小值为 30, ∴其行驶距离为 vt=380=145公里.
故骑摩托车的人至少以 30 公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望,此时他驾驶摩托车 行驶了145公里.
解决实际问题应注意的问题: 首先明确题中所给各个角的含义,然后分析题意,分析已知与所求,再根据题意
画出正确的示意图,这是最关键最主要的一步. 将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,要正确使用正、余弦定理解决问

[再练一题] 3.如图 1?2?21,在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距 A 处( 3-1)n mile 的 B 处有 一艘走私船,在 A 处北偏西 75°的方向,距离 A 处 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船.此时,走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向
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教育配套资料 K12 逃窜,问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船?

【导学号:18082010】

图 1?2?21 【解】 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船,

则有 CD=10 3t,BD=10t,

在△ABC 中,∵AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120°,

∴由余弦定理,得

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=( 3-1)2+22-2·( 3-1)·2·cos 120°=6,

∴BC= 6,



sin∠ABC=ABCC·sin∠BAC=

2· 6

23= 22.

∴∠ABC=45°.

∴BC 与正北方向垂直.

∵∠CBD=90°+30°=120°,

在△BCD 中,由正弦定理,得

sin∠BCD=BD·sCinD∠CBD=10ts1i0n

120° 1 3t =2,

∴∠BCD=30°.

即缉私船沿东偏北 60°方向能最快追上走私船.

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1.已知两座灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°,

灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( )

A.北偏东 10°

B.北偏西 10°

C.南偏东 10°

D.南偏西 10°

【解析】 如图,因△ABC 为等腰三角形,

所以∠CBA=12(180°-80°)=50°,

60°-50°=10°,故答案为 B.

【答案】 B

2.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人

在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°,沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到

达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°,则水柱的高度是( )

A.50 m

B.100 m

C.120 m

D.150 m

【解析】 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C(图略),则在△ABC 中,∠A=60°,AC=

h,AB=100,BC= 3h,根据余弦定理得,( 3h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,即

h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m.

【答案】 A

3.已知两灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观测站 C 的北偏东

20°,灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为________km.

【导学号:18082011】

【解析】 ∠ACB=120°,AC=BC=a,由余弦定理,

得 AB2=a2+a2-2a×a×cos 120°=3a2,AB= 3a.

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教育配套资料 K12 【答案】 3a 4.一轮船从 A 点沿北偏东 70°的方向行驶 10 海里至海岛 B,又从 B 沿北偏东 10°的方
向行驶 10 海里至海岛 C,若此轮船从 A 点直接沿直线行驶至海岛 C,则此船沿________方向 行驶________海里至海岛 C.
【解析】 在△ABC 中,∠ABC=110°+10°=120°. 又 AB=BC,故∠CAB=∠ACB=30°, AC= 102+102-2×10×10cos 120°=10 3. 故此船沿着北偏东 70°-30°=40°方向行驶了 10 3海里到达海岛 C.
【答案】 北偏东 40° 10 3 5.如图 1?2?22,某海轮以 60 海里/时的速度航行,在 A 点测得海面上油井 P 在南偏东 60°,向北航行 40 分钟后到达 B 点,测得油井 P 在南偏东 30°,海轮改为北偏东 60°的航 向再行驶 80 分钟到达 C 点,求 P,C 间的距离.
图 1?2?22 【解】 因为 AB=40,∠A=120°,∠ABP=30°, 所以∠APB=30°,所以 AP=40, 所以 BP2=AB2+AP2-2AP·AB·cos 120°
=402+402-2×40×40×???-12???=402×3, 所以 BP=40 3. 又∠PBC=90°,BC=80, 所以 PC2=BP2+BC2=(40 3)2+802=11 200, 所以 PC=40 7海里.
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