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线性代数 矩阵及其运算 第一课时

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线性代数
矩阵及其运算 第一课时

一、矩阵的概念
引例: 某航空公司在A、B、C、D四城市之间开辟了若
干航线.图2.1中表示四个城市的航班图.点表 示城市 , 如果从 A 城市到 B 城市有航班 , 则用线段 连接A、B且箭头指向B;如果B城市也有到A城 市的航班,则画双箭头.
A B C D A 0 0 1 1 B 1 0 0 1 C 0 1 0 0 D 1 1 0 0

A

B

D

C

如果我们用0表示没有航班,用1表示有航班, 横写的行表示到港城市,竖写的列表示出港城市, 则上表反映了四个城市的航班情况:

定义2.1 : 由m×n个数排成的m 行n 列数表
? a11 a12 ? a1n ? ?a ? ? 21 a 22 ? a 2 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a m 1 a m 2 ? a mn ? 称为一个m×n型矩阵,其中 a ij 称为矩阵第i行第j列的元素.
通常用黑体大写字母表示矩阵. 定义1中的矩阵可简记为:

A ? (aij )m?n

或A ? (aij )

引例中的数表可记为下列矩阵:

?0 1 0 1? ?0 0 1 1? ? A? ? ?1 0 0 0? ? ? ?1 1 0 0?

注: 1)当m=n时,2.1式中的矩阵称为方阵;
2)当两个矩阵A与B的行数与列数相同时称其为同型矩阵; 3) -A=

(?aij )m?n 称为矩阵A的相反矩阵;

其它特型矩阵:

4)两个同型矩阵对应元素相等时称为相等矩阵,记为A=B; 行矩 5)当一个矩阵的元素全为零时称为零矩阵,记为O。 阵

?1 ?0 ? ?? ? ?0

? a1 1 ? 列矩 ? ? 阵 ?a2 1? 0 ? 0? ? ? ? ? ? 1 ? 0? ? ?a ? ? n1 ?
? ? 0 ? ?? ? 1?

?a11

a12 ? a1n ?
? ? ? 0 0 ?

?a11 0 ?0 a 22 ? ? ? ? ? 0 ?0

? ? ? ? diag (a , a ,? , a ) 11 22 nn ? ? ? ann ? ?a11 a12 ? a1n ?

对角矩 阵

上三角矩阵

单位矩阵E或 En

?0 ? ? ? ? ?0

a 22 ? a 2 n ? ? ? ? ? ? ? 0 ? a nn ?

a11 a12 a 21 a 22 称行列式: ? ? a n1 a n 2

? a1n ? a2n ? ? ? a nn

特别注意

为方阵A的行列式, 记为detA 或 A

因此有:上、下三角与对角矩阵的行列式为其主对 角线上元素的乘积; 特别地单位矩阵行列式 E ? 1

注:零矩阵O与单位矩阵E的含义与记号。

二、矩阵的运算
1、矩阵的加法 【定义2.2】 设A ? (aij )m?n 与B ? bij m 是同型矩阵 ,则 ?n 矩阵 C 称为矩阵A和B 的和,记为 ? cij m?n ? aij ? bij m ?n C=A+B.

? ?

?

?

? ?

注: 1)A-B定义为A+(-B);
2)矩阵A与B是同型矩阵时,A+B才有意义; 3)矩阵的加法满足交换律与结合律;

例如:

? 1 0? ? ? 1 2? ? , B ? ? 1 0? A? ? 2 5 ? ? ? ? ? ? ? 4 0? ? ?? 3 1? ?

? 1 ? 1 0 ? 2? ? 0 2? ? ? ? ? A ? B ? ? 2 ? 1 5 ? 0? ? ? 3 5? ? ?4 ? 3 0 ? 1 ? ? ? ?1 1 ? ?

2、矩阵与数的乘法 【定义2.3】设A ? aij
A 的乘积为矩阵 kaij 例如:

? ?

? ?

m?n

, k是一个实常数,规定 k 与
, 记为k A 或A k .

m?n

? 2 1 0? ? 3 ? 2 3 ? 1 3 ? 0? ? 6 3 ?,3 A ? ?3 ? 3 3 ? (?2) 3 ? 0? ? ?9 ? 6 A? ? 3 ? 2 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 0 3 ? 4 3 ? 1? ? ? ?0 12 ? 0 4 1? ?
1 ) 2)运算规律:( k ( lA) ? ( kl )A

0? 0? ? 3? ?

注: 1)数与矩阵的乘法与数与行列式的乘法的区别;

(2) k ( A ? B) ? kA ? kB (3) ( k ? l )A ? kA ? lA

3、矩阵与矩阵的乘法
【定义2.4】设A ? aij

? ?

m? s

, B ? bij

??

s? n

, C ? cij

其中cij ? ai 1b1 j ? ai 2 b2 j ? ? ? air brj 则称C为A与B的乘积,记为C=AB.

?? ?? a b
r
m? n

l ?1

il lj

或:

第一个矩阵的列数必须 等于第二个矩阵的行数

? a11 a12 ? ? ? ? ? a i1 a i 2 ? ? ? ? ? ?a m1 a m 2

? a1r ? ? b11 ? ? ? ?? b21 ? ? air ? ??? ? ? ?? brn ? ? ? amr ? ?

? b1 j ? b1n ? ? c11 c12 ?c c ? b2 j ? b2 n ? ? ? ? 21 22 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? brj ? brn ? ? ?c m1 c m 2

? c1n ? ? c2 n ? ? cij ? ? ? ? cmn ?

?1 例1: 设 A ? ? ?0
解:

0? ?0 ? 1? ,B ? ? ,求AB与BA. ? ? 0? ?0 0 ?

?1 0? ?0 ? 1? ?0 ?1? AB ? ? ?? ; ? ? ? ? ? 0 0 ? ? 0 0 ? ?0 0 ? ?0 ?1? ?1 0? ?0 0? BA ? ? ; ?? ? ?? ? ?0 0 ? ?0 0? ?0 0? ? b1 ? 乘积的结果 例2: ? ? ?ab ?a b ?a b ?a1 a2 a3 ??b2 ? 1 1 2 2 3 3 是一个数 ? ?b3 ? ? ? b1a1 b1a2 b1a3 ? ? b1 ? ? ? ? ? ? b a b a b a ?b2 ??a1 a2 a3 ? ? 2 1 2 2 2 3 ? ? ? ?b3a1 b3 a2 b3a3 ? ? 乘积的结果是 ?b3 ? ? 一个方阵

AB 与BA相 等吗?

注: 1)一般地AB≠BA;
⑴ OA=AO=O

由AB=O不一定得出A=O或B=O; 2)矩阵的乘法满足以下运算规律:

乘法不满 足交换律!

⑵ EmA=AEn=A (其中A是m×n型的矩阵)

⑶ 结合律:A(BC)=(AB)C
⑷分配律:A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA 3)方阵的幂Ak定义及其规律(k是非负整数): A0=En, A1=A, A2=AA,…,Ak+l=AkA ,… AkAl =Ak+l , (Ak)l=Akl,一般情况下(AB)k≠AkBk . 为什么?

4)用矩阵的乘法表示线性方程组:

? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 ? a x ? a x ? ?? a x ? b 2n n 2 设方程组为: ? 21 1 22 2 ? ? ? ? ?am1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? bm
? a11 a12 ? a1n ? ?a a ? a ? 21 22 2n ? A?? ? ? ? ? ? ? ? ?am1 am 2 ? amn ? ? x1 ? ?x ? 2 X?? ? ??? ? ? ? xn ? ? b1 ? ?b ? 2 b?? ? ??? ? ? ?bm ?

令矩阵

则上述方程组可表为:

AX=b

4、矩阵的转置
【定义2.5】把矩阵A的行换成同序数的列而得到的新 矩阵,叫做矩阵A 的转置矩阵,记为AT.

? 1 0? 例如: ? A?? ? 2 3 ? ? ? ? 0 5? ?

?1 ? 2 0? 则A ? ? ? 0 3 5 ? ?
T

1)AT第i行第j列元素恰是A第j行第i列元素; 注: 2)若AT=A称A为对称矩阵;若AT=-A称A为反对称矩阵;

? 1 0 ? 3? ? 0 2 ? 1? ? ? ? ?? 3 ? 1 5 ? ?

如矩阵:

? 0 2 3? ?? 2 0 1? ? ? 分别是对称与反对称矩阵. ? ? ? 3 ? 1 0? ?
反对称阵的主对角 线上的元素全为零

3)矩阵的转置运算有下列性质:
(1) A

? ?

T T T

? A;
T

( 2 ) ? A ? B ? ? AT ? B T ;
T T

证(4):设 A ? ?aij ?m? p , B ? ?bij ?p?n , 则(AB)T 与B T AT 都是

( 3) ?kA? ? kA ; (4) ? AB ? ? BT AT .

n ? m 型矩阵 .( AB ) T 的第 i 行第 j 列元素是 AB 第 j 行第i列元素,故等于a : j1b1i ? a j 2 b2 i ? ? ? a jpb pi
而BTAT的第i行第j列元素是BT的第i行与AT的第j列相应 元素乘积的和,也就是B的第i列与A的第j行相应元素乘 积的和,即为 b a ? b a ? ? ? b a
1i j1 2i j2 pi jp

上两式显然相等,故(AB)T=BTAT.证毕

5、方阵乘积的行列式
【定义2.6】设A、B为两个n阶方阵,则
AB ? A B

注: 1)一般情况下AB≠BA,但 AB ? BA 2)A是n阶方阵,则 kA ? k n A 例3: 已知三方阵A的行列式为2,计算行列式
1 2 A 2

解: 由于A是三阶方阵, 所以:
1 2 1 1 2 ?1? 2 A ? ? ? A ? .2 ? 8 2 2 ? 2?
3

上节内容回顾:
一)矩阵的概念 二)矩阵运算

1)加法运算:A+B;
2)数与矩阵的乘积:kA; 3)矩阵与矩阵的乘积:AB; 4)矩阵的转置; 5)方阵的行列式.

三、问题与思考
?a ?? b 设矩阵 A ? ? ?? c ? ?? d d? ? a d ? c? 试计算矩阵乘积:AAT=? ?d a b ? ? c ?b a ? b c

问题与思考答案:

? f 0 0 0? ?0 f 0 0? ? AAT ? ? ?0 0 f 0? ? ? ?0 0 0 f ? 其中 f ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2

四、练*题
1、举反例说明下列命题是错误的:
(1)若A2 ? O , 则 A ? O; ( 2)若A2 ? A, 则 A ? O或 A ? E; ( 3)若AX ? AY , 且 A ? O , 则 X ? Y .

?1 可取: (1) A ? ? ?? 1 ?1 ( 3) A ? ? ?0

1? ? 1 0? ; ( 2) A ? ? ; ? ? ? 1? ? 0 0?
0? ?1 0? ?1 0? ;X ? ? ;Y ? ? ? ? ? 0? 0 0 0 1 ? ? ? ?

2、设A、B均为n阶矩阵,且A为对称矩阵, ? AB ? BA T 证明: (1)B AB 也是对称矩阵. (2) 若B也是对称矩阵则AB 是对称矩阵

注: 6)伴随矩阵:
设方矩阵A=(aij)n×n,用A中元素aij的代数余子 式Aij构成的矩阵: ? A A ? A ?
11 ? A1 1 A 21 ? ?A 122 2 12? A ?*A A ? ? ? ? ?? ? ? ? ? A1n ? AA 1 n2 n

An1 ? n1 ?A ? A ? 22 ? An 2 ? n 2 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? A A2 n ?n n ? ?Ann ?
21 ?

叫做A的伴随矩阵,记为A*或adjA.即

?1 ? A ? ?2 ? ?3

例 4:

2 3? ? A11 A21 A31 ? ? ? ? ? A ? ? A12 A22 A32 ? 2 1?, ? ? A A A 4 3? 13 23 33 ? ? ?

6 ? 4? ? 2 ? ? ?? 3 ? 6 5 ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ?

伴随矩阵的性质:设A是n阶方阵,则 A* A ? AA* ? A E
【证】
? A11 ?A 12 A* A ? ? ? ? ? ? A1n
? n ?? a k 1 Ak 1 ? k ?1 ? 0 ?? ? ? ? ? 0 ? ?

A21 ? An1 ? ? a11 a12 ? a1n ? ?a ? A22 ? An 2 ? a ? a 2n ? ? ? 21 22 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? A2 n ? Ann ? ?an1 an 2 ? ann ?
? ? ? ?A ? ?0 ? 0 ??? ?? ? ? ? ? ? n ? ?0 ? ? ? a kn Akn ? k ?1 ? 0

由第一章行列式的展开定理得 :
0 ? Ak 2

?a
k ?1

n

k2

? 0

0? ? A ? 0? ? AE ? ? ?? ? 0 ? A? ? 0 ?

同理可得: AA* ? A E

* * 故有: A A ? AA ? A E

证毕

§3

逆矩阵
逆矩阵的概念 方阵可逆的充要条件 问题与思考

一、逆矩阵的概念与性质
引例: 线性变换

? y1 ? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? ? y2 ? a21 x1 ? a22 x2 ? ? ? a2 n xn ? ????????????? ? ? yn ? an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? ann xn
? a11 a12 ? a1n ? ?a ? a ? a 22 2n ? 其中: A ? ? 21 ? ? ? ? ? ? ? ?a n1 an 2 ? a nn ?

可简记为: Y=AX (1)

? x1 ? ?x ? 2 X?? ? ??? ? ? ? xn ?

? y1 ? ?y ? 2 Y?? ? ??? ? ? ? yn ?

若行列式︱A ︱≠0,由第一章中的克拉默法则知:

? A1 1 ? ( A11 y1 ? A21 y2 ? ? ? An1 yn ) ? x1 ? A A ? A2 ? 1 ? x2 ? ? ( A12 y1 ? A22 y2 ? ? ? An 2 yn ) ? A A ? ??????? ? ? x ? An ? 1 ( A y ? A y ? ? ? A y ) n 1n 1 2n 2 nn n ? A A ? 记为矩阵形式: X=BY (2) 其中B为其系数矩阵,Aij是︱A ︱中元素aij代余式,而
? y1 ?y 2 A1 ? ? ?? ? ? yn a12 a 22 an 2 ? ? ? ? a1n ? a2 n ? ? ? ? a nn ? ? a11 ?a 21 A2 ? ? ?? ? ? a n1 y1 y2 yn ? ? ? ? a1n ? a2 n ? ? ? ? a nn ? ??

Y=AX (1)、X=BY (2) (1)代入(2)得:X=BY=BAX (2)代入(1)得:Y=AX=ABY BA=E AB=E

对上述矩阵A与B有以下关系: AB=BA=E . 且:

? A11 ?A 1 ? 12 B? A ?? ? ? A1n

A21 ? An1 ? 的代数余子式 * A22 ? An 2 ? ?? A ? ? ?? A ? A2 n ? Ann ?

Aij指的是元素

问题:是否对任意方阵A都能确定满足上述关系的 矩阵B 呢?

【定义2.7】设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,使 AB=BA=E. 则称A是可逆矩阵,称B为A的逆矩阵,记为A-1. 如:由EE=E知,单位矩阵E可逆,且E-1=E;

又如:当k1,k2,…,kn都不为零时 :

? k1 ? ? ? k2 ? ? ? ? ? ? ? kn ? ?

?1

? 1 ?k ? 1 ? ?? ? ? ? ? ?

1 k2

?

? ? ? ? ? ? ? 1 ? kn ? ?

注:1)可逆矩阵是在方阵中定义的;
2)若方阵A有逆矩阵,则其逆是唯一的。

【运算规律】设A是n阶方阵 (1)若A是可逆的,则A-1也可逆,且(A-1)-1=A (2)若B与A是同阶可逆矩阵,则(AB)也可逆,且(AB)-1=B-1A-1 (3) 若A可逆,数k≠0则kA也可逆,且 ?kA? (4) 若A可逆,则AT也可逆,且(AT)-1=(A-1)T 【证明】 仅给出(2)的证明。
?1

1 ?1 ? A k

因为: (AB)B-1A-1=A(BB-1)A-1=AE A-1=A A-1=E
B-1A-1 (AB) =B-1A-1AB=BE B-1=B B-1=E 所以由定义知:(AB)可逆,且(AB)-1=B-1A-1 证毕.

二、方阵可逆的充要条件
1、伴随矩阵的性质: 设A是n阶方阵,则 2、方阵可逆的充要条件

A* A ? AA* ? A E

【定理2.1、2】设A是n阶方阵,则A可逆 ? A ? 0. 1 ?1 ? 有 A ? A . 且当A ? 0时, A 【证】(必要性)设A是可逆矩阵,则AA-1=E,由行列式 性质得 A A ?1 ? E ? 1 从而: A ? 0
? ? A ? 0 AA ? A A ? A E 得: (充分性) 设 ,则由 证明的过程 ? 1 ?? ? 1 ?? A? A ? ? ? A ? A ? E 和方法都很 ? A ? ? A ? ? ? ? ? 重要!

从而A可逆,且

1 ? A ? A A
?1

证毕.

注:(1)若 A

? 0,称A为奇异矩阵 ; 若 A ? 0,称A为非奇异矩阵 .

n阶方阵A可逆 ? A ? 0. ? A为非奇异矩阵 . (2) 若A与B都是方阵, 只要满足AB=E或BA=E之一,则B=A-1. 【证】? AB ? E ,? AB ? A B ? E ? 1, ? A ? 0, A可逆。
从而B ? EB ? ( A?1 A)B ? A?1 ( AB) ? A?1 E ? A?1 .

3、用伴随矩阵求逆矩阵
?1 2 3? ?2 2 1? A ? 例1:设矩阵 ? ? ,求其逆矩阵A-1. ? ?3 4 3? ?

解: ? A ? 2, 所以A可逆,先计算伴随矩阵:

? A11 A21 A31 ? ? 2 6 ? 4? ? ? ?? 3 ? 6 5 ? A? ? ? A A A ? 12 22 32 ? ? ? ? ? 2 2 ? 2? ? ? A13 A23 A33 ? ? ?
6 ? 4? ? 1 ? 2 1 ? 1? ? ?1 ? A ? A ? ? 3 ? 6 5 ? ? ?? 3 ? A 2 2? ? ? 2 ? 2? ? 2 ? ? 1
? 2? 5? ?3 2? 1 ? 1? ? 3

例2:求满足矩阵方程AX=B的矩阵X,其中
?1 2 2 ? ?, A? ? 2 1 ? 2 ? ? ? ?2 ? 2 1 ? ? 解: ? A ? ?27 ? 0 ? 8 3? ? B?? ? 5 9 ? ? ? ? 2 15? ?

故A可逆,且 ? ? 3 ? 6 ? 6? ?1 2 2 ? 1 ? 1 ? 1? ? ? ?1 A ? A ? ? 6 ? 3 6 ? 2 1 ? 2 ? 9? ? A ? 27 ? ? ? ? ? 6 6 ? 3? ? ?2 ? 2 1 ? ? 用A-1左乘方程AX=B两边得: ? 2 17 ? 2 ?? 8 3? ? 9 ?1 2 3 ? ? 7 ? 5? 1? ? ? ? ?1 ? X ? A B ? 9 ? 2 1 ? 2? ? ? 5 9 ? ? ? 3 ? ?9 ? ? ? ? 2 ? 2 1 2 15 ? ?? ? ? 28 1 ? ? 3 ? ?9 ?

注: 1)上例中X≠BA-1;
2)若矩阵方程为AXB=C,其中矩阵A与B是可逆方阵, 则: X=A-1CB-1 ; 3)用逆矩阵的方法解方程组:

??2 ?3 4 ? ? x1 ? ? 2 ? 例3:解方程组: ? ?? ? ? ? 1 2 ? 1 ? ? ? x2 ? ? ? ? 1 ? ? ? 2 2 ? 8? ?? ? x3 ? ? ? ? ? 2? ?
解:

? x1 ? ?? 2 ? 3 4 ? ? 2 ? ??1? ? ? ? ? ? ? ? ? x ? 1 2 ? 1 ? 2? ? ? ? ? 1? ? ? 0 ? ? ? x3 ? ? ? ? 2 2 ? 8? ? ? ? ? 2? ? ? ?0? ?

?1

三、问题与思考
若方阵A满足:A2+2A-E=O.说明A是可逆矩阵,并求A-1.

问题与思考答案:
由矩阵方程: A-1+2A-E=O 得: A(A+2E)=E.

故由逆矩阵的定义知A可逆,且 A-1= A+2E.

?1 1 1 ? ?1 1 ? 1? T A ? 1、求3AB-2A及A B.其中: ? ? ? ?1 ? 1 1 ? ? 2、举反例说明下列命题是错误的:
(1)若A2 ? O, 则 A ? O; ( 2)若A2 ? A, 则 A ? O或 A ? E; ( 3)若AX ? AY , 且 A ? O, 则 X ? Y .

五、练*题

? 1 2 3? ? ,B ? ? ? 1 ? 2 4 ? ? ? ? 0 5 1? ?

?1 1? 3、计算矩阵乘积 ? ? 0 1 ? ? 4、设A、B均为n阶矩阵,且A为对称矩阵,
证明: BTAB 也是对称矩阵. 5、计算下列矩阵的乘积:? a11 a12 a13 ? ? x1 ?

n

?x1

?? x ? x2 x3 ? ? a a a ? 21 22 23 ? ? 2 ? ? ?a31 a32 a33 ? ?? ? x3 ? ?

练*题答案
?0 5 8? ? ?2 13 22 ? ? 1、 ?0 ? 5 6? ? ? 2 ? 17 20 ?; ? ? ? ? 4 29 ? 2? ? ? 2 9 0 ? ? ? ?

2、取

1 ? 3、 ?0 ?
5、a11x1
2

?1 1? ?1 (1) A ? ? ?; (2) A ? ? ?? 1 ? 1? ?0

n? 1? ?

0? ?1 0? ?1 ?; (3) A ? ? ?; X ? ? 0? ?0 0? ?0

0? ?1 ?;Y ? ? 0? ?0

0? ? 1?

4、用定义直接验证

? a x ? a x ? 2a12x1 x2 ? 2a13x1 x3 ? 2a23x2 x3 ;
2 22 2 2 33 3

证明题选讲

设A为n阶 方 阵 , A的 伴 随 矩 阵 为 A*, 证 明: ?1? 若 A ? 0, 则 A* ? 0; ?2? A* ? A
证明:
n ?1

?1? ? A ? 0, 若A ? 0, 则A
等式两边右乘A

*

? 0, 结论成立
?1

若A ? 0, 假设 A* ? 0, 则A*可逆, 又AA* ? A E ,

? ?
*

* ?1

得 A ? A A*

? ?

? 0,矛盾.
* n

?2? ? AA

*

? A E ,两边取行列式得 ,AA ? A
n ?1

若 A ? 0,由?1?知, A ? 0, 结论 A ? A
* *

若 A ? 0, 有 A ? A ;

n ?1

成立.

设A为n阶可逆方阵,A*为A的伴随矩阵, 1 ?1 ?1 试证: ?1?A* ? A A ; ?2?( A*) ? A ? ( A?1 )*; A

?3?( ? A)* ? (?1)n?1 A*; ?4? A * ?

A

n ?1

..

证明: 1 由AA* ? A E ? A* ? A A?1 ; A A ?1 2 A* A ? A E ? A* ? E ? ? A *? ? A A A ?1 * * ?1 ?1 * E ?1 * ?1 ?1 ? A ? ; ? ( A ) ? ( A ) 又?A ? ?A ? ? A E ? ; A A

? ?
*

3 ? ?? A? ?? A? ? ? A E ? ?? 1? A E ? ?? A? A ? ?? 1?
* n
*

n ?1

AE

又由A* A ? A E
*

? ?? A? ????? 1??? 1 A ??AA ?* A A* ?
* n ?1

n ?1

4 A A? AE ? A A ? A

? A A ?A
*

?

n ?1

?? 0

*

n

? A ? 0? ? A

*

? A

n ?1



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