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2013届南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市高三第三次模拟考试数学

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2013 届南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市高三第三次模拟考试数 学试卷 2013.5.2
开始 .
S ?0

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 已知集合 A ? ? ?2,? , B ? ? ?1, ? ,则 A ? B ? 1 2 ▲

S ? S ? 400

2. 设复数 z 满足 (3 ? 4i)z ? 5 ? 0 ( i 是虚数单位) ,则复数 z 的模为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是 4. “ M ? N ”是“ log2 M ? log 2 N ”成立的 ▲ ▲ . 条件.

S≤2000

Y

N 输出S 开始

(从“充要”“充分不必要”“必要不充分”中选择一个正确 , , 的填写) 5. 根据某固定测速点测得的某时段内过往的 100 辆机动车的 行驶速度(单位:km/h)绘制的频率分布直方图如右图所示.该 路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为 60 km/h~120 km/h,则该时段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ . 0.0175 0.0150 0.0100 0.0050 0.0025

频率 (第 3 题) 组距

40 60 80 100 120 140 速度/ km/h
(第 5 题)

6. 在*面直角坐标系 xOy 中,抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 上纵坐 标为 1 的一点到焦点的距离为 3,则焦点到准线的距离为 ▲ .

2 3 4 5 6 7 8 9 7. 从集合 ?1,,,,,,,, ? 中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的 3 倍

的概率为





8. 在*面直角坐标系 xOy 中,设点 P 为圆 C : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上的任意一点,点 Q (2 a ,
a ? 3 ) ( a ? R ),则线段 PQ 长度的最小值为





y 5

9. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) (A ? 0 , ? ? 0 , 0≤? ? 2?) 在 R 上 的部分图象如图所示,则 f (2013) 的值为 ▲ .
?1

O

5

11 x

10.各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a2 ? a1 ? 1.当 a 3 取最小值
(第 9 题)

时,数列 ?an ? 的通项公式 an=





1

?ax 2 ? 2 x ? 1,≥0, x ? 11.已知函数 f ( x) ? ? 2 是偶函数,直线 y ? t 与函数 y ? f ( x) 的图象自左向 ? x ? bx ? c,x ? 0 ?

右依次交于四个不同点 A , B , C , D .若 AB ? BC ,则实数 t 的值为





0) 12.过点 P(?1, 作曲线 C : y ? e x 的切线,切点为 T1 ,设 T1 在 x 轴上的投影是点 H1 ,过点
H1 再作曲线 C 的切线,切点为 T2 ,设 T2 在 x 轴上的投影是点 H 2 ,…,依次下去,得到第
n ? 1 (n ? N) 个切点 Tn ?1 .则点 Tn ?1 的坐标为





13.在*面四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AD,BC 的中点,且 AB ? 1 , EF ? 2 ,

???? ??? ? ???? ??? ? CD ? 3 .若 AD × BC =15,则 AC × BD的值为





14.已知实数 a1,a2,a3,a4 满足 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,a1a42 ? a2a4 ? a2 ? 0 ,且 a1 ? a2 ? a3,则 a4 的取 值范围是 二、解答题 15.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,四条侧棱长均相等. (1)求证: AB // *面 PCD ; (2)求证:*面 PAC ? *面 ABCD . ▲ .

P

A
O

D
C

B
(第 15 题)

16.在△ABC 中,角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c.已知 (1)求角 B 的大小; (2)设 T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求 T 的取值范围.

2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c2 . 2sin A ? sin C c ? a ? b

2

17.某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图 1 是单层玻璃,厚度为 8 mm;图 2 是双层 中空玻璃, 厚度均为 4 mm,中间留有厚度为 x 的空气隔层. 根据热传导知识, 对于厚度为 d 的均匀介质,两侧的温度差为 ?T ,单位时间内,在单位面积上通过的热量 Q ? k ? ?T ,其 d 中 k 为热传导系数. 假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等. (注:玻璃的 热传导系数为 4 ? 10?3 J ? mm/ ? C ,空气的热传导系数为 2.5 ? 10?4 J ? mm/ ?C . ) (1) 设室内, 室外温度均分别为 T1 ,T2 , 内层玻璃外侧温度为 T1? , 外层玻璃内侧温度为 T2? , 且 T1 ? T1? ? T2? ? T2 .试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的 热量(结果用 T1 , T2 及 x 表示) ; (2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的 4%,应如何 设计 x 的大小? T1 8 室内 墙 图1
(第 17 题)

墙 T2 T1 4 室外 室内
T1?


T2?

T2 4 室外

x

墙 图2

18.如图,在*面直
2 y2 0) 角坐标系 xOy 中,椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, ,离心率为 2 .分别过 O , 2 a b

,且 OE ? EF . F 的两条弦 AB , CD 相交于点 E (异于 A , C 两点) (1)求椭圆的方程; (2)求证:直线 AC , BD 的斜率之和为定值.
C

y
A E
O

F

D

x

B

(第 18 题) 3

19.已知数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 d 的等差数列,数列 ?bn ? 是首项为 1,公比为 q (q ? 1) 的等比数列. (1)若 a5 ? b5 , q ? 3 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和; (2)若存在正整数 k (k≥2) ,使得 ak ? bk .试比较 a n 与 bn 的大小,并说明理由.

20.设 f ( x) 是定义在 (0,? ?) 的可导函数,且不恒为 0,记 gn ( x) ?

f ( x) (n ? N* ) .若对定义 xn

域内的每一个 x ,总有 gn ( x) ? 0 ,则称 f ( x) 为“ n 阶负函数” ;若对定义域内的每一个 x , 总有 ? g n ( x ) ?? ≥0 ,则称 f ( x) 为“ n 阶不减函数” ? g n ( x ) ?? 为函数 g n ( x) 的导函数) ( . (1)若 f ( x) ? a3 ? 1 ? x( x ? 0) 既是“1 阶负函数” ,又是“1 阶不减函数” ,求实数 a 的取值 x x 范围; (2)对任给的“2 阶不减函数” f ( x) ,如果存在常数 c ,使得 f ( x) ? c 恒成立,试判断 f ( x) 是否为“2 阶负函数”?并说明理由.

4

数学附加题
21. 【选做题】 A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙ O 的半径为 3,两条弦 AB , CD 交于点 P ,且 AP ? 1 , CP ? 3 , OP ? 6 . 求证:△ APC ≌△ DPB .

A F D P
C O

B

E
(第 21—A 题)

B.选修 4—2:矩阵与变换
? x 5? 已知矩阵 M ? ? ? 不存在逆矩阵,求实数 x 的值及矩阵 M 的特征值. ?6 6?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程
1) 0) 在*面直角坐标系 xOy 中,已知 A(0, , B(0,? 1) , C (t, , D 3, ,其中 t ? 0 .设 0 t

? ?

直线 AC 与 BD 的交点为 P ,求动点 P 的轨迹的参数方程(以 t 为参数)及普通方程.

D.选修 4—5:不等式选讲 已知 a ? 0 , b ? 0 , n ? N* .求证:

an?1 ? bn?1 ≥ ab . a n ? bn

5

22. 【必做题】 设 n ? N* 且 n≥2 ,证明:

? a1 ? a2 ? ??? ? an ?

2

? a12 ? a22 ? ??? ? an2 ?2 ?a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ? ?a2 ? a3 ? a4 ? ??? ? an ? ???? ? an?1an ? . ?

23. 【必做题】 下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘,其中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ部分的面积各占转 盘面积的 1 , 1 , 1 , 1 .游戏规则如下: 12 4 2 6 ① 当指针指到Ⅰ,Ⅱ, Ⅲ,Ⅳ部分时,分别获得积分 100 分,40 分,10 分,0 分; ② (ⅰ)若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是 40 分,则按①获得相应的积分,游戏结 束; (ⅱ)若参加该游戏转一次获得的积分是 40 分,则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定 是否继续游戏.正面向上时,游戏结束;反面向上时,再转一次转盘,若再转一次的积分不 高于 40 分,则最终积分为 0 分,否则最终积分为 100 分,游戏结束. 设某人参加该游戏一次所获积分为 ? . (1)求 ? ? 0 的概率; (2)求 ? 的概率分布及数学期望. Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅳ
(第 23 题)



Ⅰ Ⅲ Ⅱ

6



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